Bài toán nhiệt ngược thời gian thuần nhất trên đoạn bị chặn
Abstract
The problem of homogeneous backward heat conduction on a bounded interval is an ill-posed problem. The problem is concerned with the equation Ax = y. For the given data y, we find x = Aly. The existence and uniqueness of the solution to the problem may not be obtained. In case of existence, the solution to the problem is also unstable because the operator A1 is not continuous. In this paper, we study the ill-posedness of the problem and a regularization is given. In the following parts, the Fourier method is used to obtain the weak form of solution. Moreover, the method of quasi-boundary value is used to construct the regularized solution.
Tóm tắt
Bài toán nhiệt ngược thời gian thuần nhất trên đoạn bị chặn là bài toán không chỉnh. Bài toán liên quan đến phương trình Ax=y. Với dữ liệu y, chúng ta tìm x=A-y. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán có thể không đạt được. Trong trường hợp tồn tại, nghiệm của bài toán cũng không ổn định vì toán tử A-'không liên tục. Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu bài toán không chỉnh và một phương pháp chỉnh hóa tương ứng. Trong phần sau, chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp Fourier để thiết lập dạng nghiệm yếu. Hơn nữa, phương pháp tựa biên được sử dụng để xây dựng nghiệm chỉnh hóa.
Tài liệu tham khảo
[1] Clark, G. W., & Oppenheimer, S. F. (1994). Quasireversibility methods for non-well-
posed problems. Electronic Journal of Differential Equations, 1994(8), 1.
[2] Colton, D. (1979). The approximation of solutions to the backwards heat equation in a nonhomogeneous medium. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 72(2), 418-429.
[3] Denche, M., & Bessila, K. (2005). A modified quasi-boundary value method for ill-posed problems. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 301(2), 419-426.
[4] Ewing, R. E. (1975). The approximation of certain parabolic equations backward in
time by Sobolev equations. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 6(2), 283-294.
[5] Kirsch, A. (2011). An introduction to the mathematical theory of inverse problems
(Vol. 120). New York: Springer.
[6] Phúc, N. P. (2006). Phương pháp quasi-boundary value và phần tử hữu hạn áp dụng vào bài toán nhiệt ngược thời gian: Luận văn Thạc sĩ Toán học chuyên ngành Toán Giải tích.
[7] Pinchover, Y., & Rubinstein, J. (2005). An introduction to partial differential equations
(Vol. 10). Cambridge university press.
[8] Quân, P. H. (2005). Bài toán ngược trong lý thuyết nhiệt: Luận án Tiến sĩ Toán học
chuyên ngành Toán giải tích.
[9] Tuấn, N. H. (2009). Bài toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến. Luận án Tiến sĩ Toán
học chuyên ngành Toán giải tích.
[10] Yildiz, B., & Özdemir, M. (2000). Stability of the solution of backward heat equation
on a weak compactum. Applied mathematics and computation, 111(1), 1-6.